Szeretjük azt gondolni, hogy ha van egy dolog, amit biztosan tudunk, akkor az az, hogy 2+2=4. De mégis honnan tudjuk ezt? És miért vagyunk olyan biztosak benne? Az elmúlt néhány száz évben a filozófusoknak nem kevés mondanivalójuk akadt arról, hogy vajon miként teszünk szert a matematikai ismereteinkre, és mitől lesznek ezek az ismeretek megbízhatóak. Nézzük meg, mivel álltak elő.

Először is fontos leszögezni, hogy a kérdés "honnan tudjuk, hogy 2+2=4?" nem csak az önérzetünk miatt fontos. Persze jó érzés arra gondolni, hogy van legalább egy dolog, amit biztosan tudunk, de ezen kívül nem elhanyagolható az a tény sem, hogy a matematikai állításokat folyton felhasználjuk a tudományos kutatás során. Így aztán nem mellékes, hogy mégis honnan szerzünk tudomást a matematikai állítások igazságáról, és mennyire megbízhatóak ezek az ismeretek.

Az egyik legegyszerűbb elképzelés arról, honnan szerzünk tudomást a matematikáról, John Struart Milltől származik. Szerinte a matematikai megismerés pontosan olyan, mint bármilyen tudományos megismerés: a tapasztalatokon alapuló elvonatkoztatás.

Azt, hogy 2+2=4, pontosan onnan tudjuk, mint azt, hogy holnap is felkel a nap. Durván megfogalmazva: megfigyeltünk számos különböző esetet - mikor két almát, majd megint két almát tettünk a kosárba, négy alma lett benne, mikor kétszer két gyerekünk született, négy gyerekünk lett, stb. - majd ezek alapján levontunk egy induktív következtetést, hogy tehát 2+2=4.

(Mill elmélete persze ennél összetettebb, de ez az alapelgondolás)

Ezzel az elképzeléssel van egy nagy probléma. Azok a tényállások, amiket ilyen induktív módszerrel ismerünk meg, általában esetlegesek. Nem szükségszerű, hogy fennálljanak, és amennyire el tudjuk gondolni, akár az is lehetséges volna, hogy ne álljanak fenn.

Például teljes mértékben elképzelhető, hogy holnap ne keljen föl a nap. Csak rájöttünk, hogy éppenséggel véletlenül az a helyzet, hogy eddig mindig fölkelt, és ezért jó okunk van azt gondolni, hogy továbbra is fel fog. De a hipotézis, hogy "a nap mindig fölkel" ettől még cáfolható. Csak annyi kell, hogy egyszer ne keljen föl a nap, és akkor kénytelenek lennénk újragondolni a hipotézisünket.

Ez persze nem jelenti azt, hogy ez az eset valaha is be fog következni. Persze a nap esetében speciel tudjuk, hogy be fog. De gondoljunk olyan természettörvényekre, amiket szintén induktív következtetéssel igazolhatunk, de amiről azt gondoljuk, nem fognak a jövőben megváltozni (pl.: A Ohm törvény). Az ezekről szerzett ismereteink is cáfolhatóak (el tudjuk képzelni, mit kellene látnunk ahhoz, hogy megcáfoljuk őket), és az, hogy éppenséggel sosem fogjuk cáfolni őket, esetleges tény, amit nem tudunk biztosan.

Mármost tegyük fel a kérdést: mégis milyen fajta megfigyeléssel kellene találkoznunk ahhoz, hogy megcáfoljuk a "hipotézist", miszerint 2+2=4? Ilyen esetet már-már lehetetlen. A 20. századi brit filozófus A. J. Ayer példájával élve: ha leraknánk két almát az asztalra, majd megint kettőt, de másnap csak hármat találnánk ott, sohasem gondolnánk arra, hogy talán 2+2=3, hanem mindig csak arra, hogy valaki elvette az egyik almánkat (vagy elgurult, vagy megnyílt egy féreglyuk és elnyelte, vagy akármi más).

Mit kezdjünk ezzel az érvvel? Egyrészt lehet azt mondani, hogy igenis vannak olyan megfigyelések, amelyek cáfolhatják, hogy 2+2=4. Csak ezeket egyrészt nagyon nehéz megtalálni, másrészt mi emberek már csak olyanok vagyunk, hogy bizonyos meggyőződéseinkhez a végsőkig ragaszkodunk, és inkább más feltételezéseinket változtatjuk meg, semhogy a matematikához nyúlnánk hozzá, pedig elvben ez is revideálható. Egy filozófus, aki ezt az elképzelést vallotta volt például W. V. Quine.

Ayer ezzel szemben azt a megoldást választja, hogy azt mondja, a matematikai állítások egyáltalán nem olyanok, mint a tudomány többi empirikus állítása, így nem is ugyanúgy szerzünk róluk tudomást. A matematika állításai ugyanis Ayer szerint analitikusak, míg a tudomány állításai szintetikusak.

Az analitikus állítások olyanok, mint a "minden ember ember", vagy az "egyetlen élő ember sem halott" - olyan állítások tehát, amelyek pusztán a jelentésük, a bennük szereplő fogalmak tartalma folytán igazak. Ahhoz, hogy tudjam, egyetlen élő ember sem halott (a zombikat hagyjuk) nem kell végignéznem az összes élő embert és leellenőrizni, hogy nem halottak-e. Már az "élő" jelentésében is benne van, hogy "nem halott", így ha egyszer megértem az állítást, "egyetlen élő ember sem halott", már tudom is, hogy igaz.

A matematikai állítások Ayer szerint pontosan ilyenek. Azt, hogy 2+2=4 pontosan onnan tudom, mint azt, hogy minden ember ember, vagy hogy egy élő ember sem halott. Nem a világ tényeit kell hozzá megismernem méréseken, kísérleteken és induktív általánosításon keresztül. Ehelyett egyszerűen meg kell értenem a fogalmakat, amiket használok, mint a 2, a + és a 4.

Helytálló vajon ez az elmélet? Nos, természetesen itt is van egy-két probléma. Az analitikus állításokról ugyanis legtöbbször azt szoktuk gondolni, hogy nem túlságosan informatívak. Az, hogy "minden ember ember" eléggé magától értetődő, mondhatni, nem tudunk meg általa semmi újat a világról.

Lehet persze mondani, hogy bizonyos matematikai állítások hasonlóképpen nem túl informatívak (egyszerűek, mint az egyszeregy), de azért nehéz volna tagadni, hogy igenis vannak olyan matematikai tételek, felfedezések, amelyek koránt sem olyan magától értetődőek, mint, hogy minden ember ember.

Talán az, hogy 2+2=4 nem mond sokat, de az absztrakt algebra, vagy a matematikai analízis tételei már inkább. Aligha mondhatnánk, hogy ha megtanuljuk őket, nem teszünk szert új ismeretekre (kérdezz meg bármilyen matematika szakost), sem azt, hogy olyan egyszerű lenne őket belátni, mint azt, hogy minden ember ember. Úgy tűnik tehát, hogy igenis vannak olyan matematikai állítások, amelyek informatívak, és mint ilyenek, nem lehetnek analitikusak, csak szintetikusak.

Az egyik válasz erre az, hogy mint néhány filozófus - például a szintén brit Timothy Williamson - azt mondjuk, hogy az analitikus állítások igenis lehetnek informatívak. Az, hogy egy állítás analitikus, azt jelenti, pusztán azáltal tudhatjuk, hogy igaz, hogy megértjük. De bizonyos dolgokat egyáltalán nem könnyű megérteni. Az ilyen típusú analitikus állításokról joggal mondhatjuk, hogy igenis megtudunk általuk valami újat. Ebben egyáltalán nincs semmi különös.

Másokat ez az érvelés nem győz meg, és azt szeretnék állítani, hogy a matematika állításai márpedig nem analitikusak, hanem szintetikusak. Nem a fogalmainkról szólnak, hanem valamiféle, valóságosan létező tényekről. Felvetődik azonban a kérdés: miféle tényekről?

Értelemszerűen nem empirikusan megismerhető tényekről, mint az, hogy a Föld kerek, hiszen ezt a hipotézist már Ayernél elvetettük. Nagyjából két lehetőség marad ebben az esetben. A matematika által megismert tények vagy valahol téren és időn kívül vannak, absztrakt összefüggések, vagy a matematika az emberi gondolkodás speciális szabályait ismeri meg, vagyis mentális összefüggéseket.

Ez utóbbi válasszal, hogy tehát a matematika az emberi gondolkodás sajátosságairól szól, az a baj, hogy ezzel meglehetősen relatívvá tesszük a matematikai állítások igazságát. Az emberek persze így gondolkodnak, de vajon egy földönkívüli számára már más lenne a matematika?

Ilyeneket lehet mondani - és vannak/voltak is komoly tudósok, filozófusok, akik ezt mondták -, de azért sokan nem szívesen adnák fel azt az elgondolást, hogy a matematikai igazságok szükségszerűek: a 2+2=4 igaz, ha emberekről van szó, ha űrlénygyíkokról, ha 2014-ben vagyunk Magyarországon, ha réges-rég egy messzi-messzi galaxisban.

Mondjuk akkor inkább azt, hogy a matematika igazságai absztrakt, téren és időn kívül létező tényállásokra vonatkoznak? Ezzel az elképzeléssel szemben Paul Benacerraf - ezúttal egy amerikai filozófus és matematikus - fogalmazta meg a következő problémát: ha a matematikai összefüggések téren és időn kívül léteznek, semmiféle oksági kapcsolatban nem állhatnak velünk. Márpedig, ha valami teljes mértékben el van zárva tőlünk okságilag, hogyan is szerezhetnénk róla tudomást?

Benacerraf ellenfelének valami olyasmit kellene válaszolnia, hogy van valamiféle csodálatos műszer a fejünkbe építve, ami - szemben minden mással, ami a fejünkben van, és ami az oksági törvényeknek alávetett világ része - valahogy képes átnyúlni ebbe a téren és időn kívüli régióba, és onnan leolvasni a matematikai igazságokat. Egy ilyen mágikus teleszkóp létezése azonban minden mérce szerint felettébb kétséges.

Szóval hogyan állunk a kérdésünkkel? Honnan tudjuk, hogy 2+2=4? Az én véleményem szerint az eddig felsorolt elméletek és filozófusok közül két befutó van. Az egyik Timothy Williamson, a másik W. V. Quine.

Williamson Ayerrel együtt azt állítja, hogy a matematikai állításokat úgy ismerjük meg, mint az analitikus állításokat, de az analiticitásból nem következik az egyszerűség vagy a nyilvánvalóság. Ennek az elméletnek az az egyik előnye, hogy az analitikus állítások jellemzően szükségszerűek, és a matematikai állításokat is pont ilyennek szeretnénk.

Quine álláspontja az, hogy a matematikai állításoknak is van empirikus tartalmuk, csak nem szívesen revideáljuk őket, ezért tűnnek szükségszerűnek. De ahogy Quine is mondja, láttunk már példát arra a tudomány történetében, hogy bizonyos problémák megoldásához a tudósok egészen alapvető tételekhez is hozzányúltak, mint a kizárt harmadik elve, amit a kvantummechanika kialakulásakor bolygattak meg, hogy bizonyos jelenségeket sikeresebben magyarázhassanak. Ha ilyet lehet, ugyan miért ne lehetne a matematikát is revideálni?

A kettő közül kinek van igaza? Nos, én a magam részéről Quine-nal vagyok, de talán a kommentekben meg tudtok győzni róla, hogy nincs igazam.

P.S.: olvasottabb olvasóim talán fel szeretnék emlegetni az analiticitás-elmélet ellen, hogy éppen Quine volt az, aki a híres "Az empirizmus két dogmája" c. tanulmányában kimutatta, hogy az analitikus/szintetikus különbség nem fenntartható. Ezt a megfontolást azért nem emlegettem, mert a kortárs filozófiában általánosan elfogadott, hogy Quine érvei nem meggyőzőek, de legalábbis nem az utolsó szót mondják ki a vitában.